先搞清楚：极值和最值不是一回事！

咱们先拿最常见的函数图像举例，比如 y = x²（开口向上的抛物线）、y = |x|（V 字），你肯定见过它们的样子：

1. 极值：函数的 “局部小高低”

就像爬山时遇到的 “小土坡” 或 “小山谷”—— 只看它周围一小块地方，它是最高或最低的，但放眼整座山未必是。

 

  • 比如 y = x²，图像在 x=0 处有个最低点：不管你看 x=0 左边一点（比如 x=-1）还是右边一点（x=1），对应的 y 值都比 x=0 时的 y=0 大，这就是极小值，x=0 就是极小值点；
  • 再比如函数 y = -x² + 4（开口向下的抛物线），x=0 处的 y=4，周围的 y 值都比它小，这就是极大值，x=0 是极大值点。
一句话总结：极值是 “局部冠军”，只比身边近的点高 / 低。
 

2. 最值：函数的 “全局总冠军”

就是整段区间里，函数图像的 “最高处” 或 “最低处”—— 不管周围有没有小土坡，它都是整个范围内的第一。
比如咱们看 y = x² 在区间 [-2, 3] 里的样子：

 

  • 最低点还是 x=0 时的 y=0（既是极小值也是最小值）；
  • 最高点呢？看区间两端：x=-2 时 y=4，x=3 时 y=9，显然 x=3 时的 y=9 最大，这就是最大值。
一句话总结：最值是 “全场第一”，比整个区间里所有点都高 / 低。
 

求极值：两步找到 “局部小高低”

想找到函数的极值点，不用死记定理，跟着 “找可疑点→判真假” 两步走，像侦探破案一样简单！

第一步：找 “可疑点”—— 哪里可能是小坡顶 / 山谷底？

爬山时，小坡顶和山谷底有个明显特征：脚底下是平的（不会再往上爬，也不会再往下滑）。对应到函数图像上，就是切线是水平的点—— 数学里叫 “驻点”，也就是满足 f’(x) = 0 的点（导数为 0，切线斜率为 0）。
但还有一种特殊情况：比如 y = |x| 的 V 字顶点（x=0 处），这里的图像是 “尖的”，没有平滑的切线（导数不存在），但它也是极小值点。
所以 “可疑点” 只有两类：
  • 导数为 0 的点（驻点）；
  • 导数不存在的点（比如尖点、折点）。

 

第二步：判 “真假”—— 可疑点是不是真的极值点？

找到可疑点后，不用算复杂的二阶导数，看它 “左右两边的走势” 就行（也就是函数在这点左边是上升还是下降，右边是上升还是下降）：

情况 1：左边上升，右边下降→极大值点

比如 y = -x² + 4 的 x=0 处：
  • 左边（x<0 时）：x 越大，y 越大（比如 x=-1 时 y=3，x=0 时 y=4），是 “上升”；
  • 右边（x>0 时）：x 越大，y 越小（比如 x=1 时 y=3，x=2 时 y=0），是 “下降”；
    所以 x=0 是极大值点，y=4 是极大值。

 

情况 2：左边下降，右边上升→极小值点

比如 y = x² 的 x=0 处：
  • 左边（x<0 时）：x 越大，y 越小（x=-1 时 y=1，x=0 时 y=0），是 “下降”；
  • 右边（x>0 时）：x 越大，y 越大（x=1 时 y=1，x=2 时 y=4），是 “上升”；
    所以 x=0 是极小值点，y=0 是极小值。

 

情况 3：左右走势不变→不是极值点

比如 y = x³（图像像个 “S”），x=0 处是驻点（f’(0)=0，切线水平）：
  • 左边（x<0 时）：x 越大，y 越大（x=-1 时 y=-1，x=0 时 y=0），上升；
  • 右边（x>0 时）：x 越大，y 还是越大（x=1 时 y=1，x=2 时 y=8），还是上升；
    左右都是上升，没有 “转折”，所以 x=0 不是极值点。

 

求最值：比大小就能赢！

最值比极值简单多了 —— 毕竟是 “全场第一”，只要把所有 “可能争第一的点” 找出来，算它们的 y 值，比一比就知道谁最大、谁最小。

第一步：确定 “参赛选手”（候选点）

分两种情况：
  • 如果是闭区间（比如 [1, 5]，有明确的起点和终点）：候选点 = 驻点 + 导数不存在的点 + 区间的两个端点（起点和终点）；
  • 如果是开区间（比如 (1, 5)，没有明确端点）：候选点 = 驻点 + 导数不存在的点（不用算端点，因为端点不在区间里）。
踩坑提醒：闭区间一定要算端点！比如函数 y = x² 在 [-2, 3] 里，要是忘了算端点 x=3，就会错把最大值当成 x=-2 时的 y=4，其实 x=3 时 y=9 才是最大的！
 

第二步：算值、比大小

咱们拿具体例子练手：求 y = x² - 4x + 3 在 [0, 5] 里的最值。
  1. 找候选点：
    • 先求驻点：f’(x) = 2x - 4，令 f’(x)=0，得 x=2（驻点）；
    • 导数不存在的点：没有（这个函数图像是抛物线，处处平滑）；
    • 区间端点：x=0（起点）、x=5（终点）；
      所以候选点是 x=0、x=2、x=5。
  2. 算每个点的 y 值：
    • x=0 时：y = 0 - 0 + 3 = 3；
    • x=2 时：y = 4 - 8 + 3 = -1；
    • x=5 时：y = 25 - 20 + 3 = 8。
  3. 比大小：8 > 3 > -1 → 最大值是 8（对应 x=5），最小值是 - 1（对应 x=2）。

 

最后记个 “懒人口诀”，下次直接用！

找极值：驻点尖点先找到，左右走势判真假（左升右降是极大，左降右升是极小）；
找最值：闭区间加两端点，所有候选算值比，最大最小就是它。

 

其实函数的极值最值，本质就是 “找转折、比大小”—— 下次看到这类题，先在脑子里画个函数图像，跟着 “爬山” 的感觉走，肯定不会错！