幂级数收敛性定理——阿贝尔定理详细讲解

首先明确讨论的对象：幂级数，其一般形式为：

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + \cdots

其中：

阿贝尔定理针对幂级数的收敛性与变量

x

的取值关系，给出了两个关键结论：

收敛点的 “内闭绝对收敛性” 若幂级数在某点 $$x = x_1$$ （ $x_1 \neq x_0$ ）处收敛，则对于所有满足 $$|x - x_0| < |x_1 - x_0|$$ 的 $x$ ，该幂级数绝对收敛。

（通俗理解：如果在距离收敛中心 $$x_0$$ 为 $$r_1 = |x_1 - x_0|$$ 的点 $$x_1$$ 处收敛，那么在以 $$x_0$$ 为圆心、 $$r_1$$ 为半径的圆内部（所有距离 $$x_0$$ 比 $$r_1$$ 更近的点），幂级数不仅收敛，而且绝对收敛。）
发散点的 “外闭发散性” 若幂级数在某点 $$x = x_2$$ （ $x_2 \neq x_0$ ）处发散，则对于所有满足 $$|x - x_0| > |x_2 - x_0|$$ 的 $x$ ，该幂级数发散。

（通俗理解：如果在距离 $$x_0$$ 为 $$r_2 = |x_2 - x_0|$$ 的点 $$x_2$$ 处发散，那么在以 $$x_0$$ 为圆心、 $$r_2$$ 为半径的圆外部（所有距离 $$x_0$$ 比 $$r_2$$ 更远的点），幂级数一定发散。）

阿贝尔定理的核心是：幂级数的收敛区域一定是以收敛中心 $$x_0$$ 为圆心的 “区间”（或 “圆”）。

存在一个非负常数 R（称为 “收敛半径”），使得：
- 当 $$|x - x_0| < R$$ 时，幂级数绝对收敛；
- 当 $$|x - x_0| > R$$ 时，幂级数发散；
- 当 $$|x - x_0| = R$$ （即区间端点 $x = x_0 \pm R$ ）时，幂级数可能收敛也可能发散（需单独验证）。

对第一个结论的说明：若幂级数在 $$x = x_1$$ 处收敛，则 $\lim_{n \to \infty} a_n (x_1 - x_0)^n = 0$ （收敛级数的通项必趋于 0）。因此，存在常数 $$M > 0$$ ，使得对所有 $n$ 有 $|a_n (x_1 - x_0)^n| \leq M$ （收敛数列有界）。

对任意满足 $$|x - x_0| < |x_1 - x_0|$$ 的 $x$ ，记 $r = \frac{|x - x_0|}{|x_1 - x_0|} < 1$ ，则： $|a_n (x - x_0)^n| = |a_n (x_1 - x_0)^n| \cdot r^n \leq M \cdot r^n$ 由于 $\sum M \cdot r^n$ 是收敛的等比级数（公比 $$r < 1$$ ），由比较判别法可知，原幂级数绝对收敛。
对第二个结论的说明（反证法） 假设幂级数在 $$x = x_2$$ 处发散，但存在某点 $$x = x_3$$ 满足 $$|x_3 - x_0| > |x_2 - x_0|$$ 且幂级数在 $$x_3$$ 处收敛。根据第一个结论，因 $$x_3$$ 收敛，且 $$|x_2 - x_0| < |x_3 - x_0|$$ ，则 $$x_2$$ 处应绝对收敛，与 “ $$x_2$$ 发散” 矛盾。故假设不成立，即 $$|x - x_0| > |x_2 - x_0|$$ 时幂级数必发散。

阿贝尔定理直接表明：幂级数的收敛范围必然是以

\(x_0\)

为中心的对称区间（或圆），即存在唯一的

R \geq 0

（称为 “收敛半径”），使得：

最经典的例子是几何级数

\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots

（收敛中心

\(x_0 = 0\)

）：

当 $$x = 1/2$$ 时，级数收敛（和为 $2$ ），根据阿贝尔定理，所有 $$|x| < 1/2$$ 的 $x$ 处绝对收敛；
当 $$x = 2$$ 时，级数发散（通项不趋于 0），根据阿贝尔定理，所有 $$|x| > 2$$ 的 $x$ 处发散；
实际计算可知，其收敛半径 $$R = 1$$ （ $$|x| < 1$$ 时绝对收敛， $$|x| > 1$$ 时发散），端点 $$x = 1$$ 和 $$x = -1$$ 处均发散。

阿贝尔定理的核心价值在于：它揭示了幂级数收敛区域的 “圆对称性”—— 收敛范围是一个以收敛中心为圆心的区间（或圆），仅在端点处可能出现收敛性的 “突变”。这一结构为幂级数的研究（如求和、求导、积分等）提供了明确的边界，是微积分中处理幂级数的基础工具。